ما معنى وفرق عدم اليقين والأخطاء (التسامح)

عدم اليقين والأخطاء

عند قياس كميات فيزيائية كالطول أو الوزن أو الزمن، قد تحدث أخطاء أثناء عملية القياس، مما يؤثر على النتائج. تُسمى هذه الأخطاء "أخطاء". يمكن أن تحدث الأخطاء نتيجة عوامل مختلفة، مثل أدوات القياس المعيبة، أو الخطأ البشري في قراءة القياسات، أو مشاكل في نظام القياس. على سبيل المثال، إذا كان مقياس الحرارة معطلاً وأظهر درجة حرارة غير صحيحة، فإن كل قراءة تُؤخذ به ستكون خاطئة بمقدار معين. هذا يجعل قياساتنا غير مؤكدة لأنها لا تتطابق بدقة مع القيمة الحقيقية. عندما نكون غير متأكدين من القيمة الحقيقية لقياس ما، فإننا نأخذ في الاعتبار نطاقًا من القيم المحتملة، يُعرف باسم "نطاق عدم اليقين". إن فهم عدم اليقين والأخطاء أمر بالغ الأهمية لأنه يساعدنا على اتخاذ قرارات أكثر استنارة بناءً على المعلومات المتاحة.

الفرق بين عدم اليقين والخطأ

يُعدّ كلٌّ من الخطأ وعدم اليقين مفهومين مهمين في القياس، ولكن لكلٍّ منهما معانٍ مختلفة. الخطأ هو الفرق العددي بين القيمة الفعلية والقيمة المقاسة. من ناحية أخرى، عدم اليقين هو تقدير النطاق الذي يُحتمل أن تقع فيه القيمة الفعلية، بناءً على موثوقية القياس.

لنأخذ مثالاً لقياس المقاومة. لنفترض أن القيمة المقبولة لمقاومة مادة ما هي 3.4 أوم. عند قياسها مرتين والحصول على قيمتين 3.35 أوم و3.41 أوم، فإن الفرق بين هذه القيم المقاسة والقيمة المقبولة يُعدّ خطأً. يُمثل النطاق بين القيمتين المقيستين، وهو 0.06 أوم (3.41 - 3.35)، نطاق عدم اليقين.

مثال آخر هو قياس ثابت الجاذبية في المختبر. المعيار المقبول لتسارع الجاذبية هو 9.81 م/ث². في تجربة باستخدام البندول، نحصل على قيم مثل 9.76 م/ث²، 9.6 م/ث²، 9.89 م/ث²، و9.9 م/ث². هذه الاختلافات عن القيمة المقبولة هي أخطاء. متوسط ​​قيمة هذه القياسات هو 9.78 م/ث²، ويتراوح نطاق عدم اليقين بين 9.6 م/ث² و9.9 م/ث². يبلغ عدم اليقين المطلق نصف هذا النطاق تقريبًا، ويُحسب كالتالي: (9.9 – 9.6) / 2 = 0.15 م/ث².
يساعدنا فهم الأخطاء وعدم اليقين على تقييم موثوقية قياساتنا وتحديد نطاق القيم المحتملة للكمية الفعلية. هذه المعرفة ضرورية لاتخاذ قرارات مدروسة بناءً على البيانات المجمعة.

ما هو الخطأ المعياري في المتوسط؟

الخطأ المعياري في المتوسط ​​هو قيمة تشير إلى مدى انحراف القياسات عن المتوسط. لحسابه، اتبع الخطوات التالية:

1. احسب المتوسط: أوجد متوسط ​​جميع القياسات.
2. طرح وتربيع:اطرح المتوسط ​​من كل قيمة تم قياسها ثم قم بتربيع النتائج.
3. جمع القيم: أضف كل القيم المطروحة.
4. القسمة على الجذر التربيعي لحجم العينة: قم بقسمة المجموع على الجذر التربيعي لإجمالي عدد القياسات التي تم أخذها.

على سبيل المثال، تخيّل أنك تزن شيئًا ما أربع مرات. من المعروف أن وزن هذا الشيء هو 3.0 كجم بالضبط، بدقة أقل من غرام واحد. قياساتك الأربعة هي 3.001 كجم، و2.997 كجم، و3.003 كجم، و3.002 كجم.

أولًا، احسب المتوسط ​​الحسابي: (3.001 كجم + 2.997 كجم + 3.003 كجم + 3.002 كجم) / 4 = 3.00075 كجم. بما أن قياساتنا تحتوي على ثلاثة أرقام معنوية فقط بعد الفاصلة العشرية، فإننا نعتبر القيمة 3.000 كجم.
• ثم اطرح المتوسط ​​من كل قياس وقم بتربيع النتيجة:
(3.001 كجم – 3.000 كجم)² = 0.000001 كجم²
(2.997 كجم – 3.000 كجم)² = 0.000009 كجم²
(3.003 كجم – 3.000 كجم)² = 0.000009 كجم²
(3.002 كجم – 3.000 كجم)² = 0.000004 كجم²
إذا أخذنا في الاعتبار ثلاثة أرقام مهمة فقط بعد النقطة العشرية، فيمكننا تقريب القيمة الأولى إلى 0.
• بعد ذلك، اجمع كل الفروقات التربيعية: 0 + 0.000009 كجم² + 0.000009 كجم² + 0.000004 كجم² = 0.000022 كجم²
• وأخيرًا، قسّم على الجذر التربيعي لعدد العينات (√4 = 2): √(0.000022 كجم² / 4) = 0.002 كجم

في هذه الحالة، يكون الخطأ المعياري للمتوسط ​​(σx) صغيرًا جدًا، مما يشير إلى أن قياساتنا قريبة من القيمة الحقيقية لوزن الجسم.

ما هي المعايرة والتسامح؟

يشير التسامح إلى النطاق بين الحد الأقصى والحد الأدنى المسموح به للقياس. أما المعايرة، فهي عملية ضبط أداة القياس لضمان وقوع جميع قياساتها ضمن نطاق التسامح. لمعايرة أداة، تُقارن نتائج قياسها بنتائج أدوات أكثر دقةً ووضوحًا، أو بأداة مرجعية ذات قيمة عالية الدقة ومعروفة.

ومن الأمثلة على ذلك معايرة الميزان

المعايرة ليست عمليةً واحدةً، بل تحتاج الموازين إلى إعادة معايرة دورية للحفاظ على دقتها. قد تؤثر العوامل البيئية، مثل درجة الحرارة والرطوبة وضغط الهواء، على قراءات الميزان. على سبيل المثال، قد تتسبب تغيرات درجة الحرارة في تمدد أو انكماش المكونات المعدنية للميزان، مما يؤدي إلى قياسات غير دقيقة. لذلك، من المهم مراعاة هذه العوامل البيئية أثناء المعايرة.

كذلك، عند معايرة الميزان، من الضروري استخدام أوزان مناسبة. فاستخدام أوزان ثقيلة أو خفيفة جدًا قد يُشوّه عملية المعايرة ويؤثر على دقتها. بشكل عام، تُعد معايرة الميزان خطوة أساسية للحصول على قياسات دقيقة وموثوقة. ويُعد اتباع إجراءات المعايرة الصحيحة وإعادة المعايرة بانتظام أمرًا ضروريًا للحفاظ على دقة الميزان.

كيف يتم الإبلاغ عن عدم اليقين؟

عند عرض نتائج القياس، من المهم توضيح عدم اليقين المرتبط بها. هذا يساعد الآخرين على فهم التباين المحتمل في القياس ومستوى الثقة في القيمة المُبلغ عنها.

على سبيل المثال، إذا قسنا قيمة مقاومة قدرها 4.5 أوم مع عدم يقين قدره 0.1 أوم، فإننا نسجلها على أنها 4.5 ± 0.1 أوم. هذا يدل على أننا واثقون من أن القيمة الحقيقية للمقاومة تقع ضمن نطاق 4.4 إلى 4.6 أوم.

تُعد قيم عدم اليقين ذات أهمية في العديد من المجالات، بما في ذلك التصنيع والتصميم والهندسة المعمارية والميكانيكا والطب. وتلعب دورًا حاسمًا في دقة قياس النتائج والإبلاغ عنها. ومن خلال الإبلاغ عن قيم عدم اليقين، يُمكننا تقليل الأخطاء وتحسين جودة قياساتنا، وهو أمرٌ أساسي في البحث العلمي والهندسة والرعاية الصحية.

ما هي الأخطاء المطلقة والنسبية؟

يمكن تصنيف أخطاء القياس إلى أخطاء مطلقة ونسبية. تصف الأخطاء المطلقة الفرق بين القيمة المقاسة والقيمة المتوقعة. أما الأخطاء النسبية، فتقيس مدى أهمية هذا الفرق مقارنةً بالقيمة الحقيقية.

الخطأ المطلق

لحساب الخطأ المطلق، استخدم الصيغة التالية: الخطأ المطلق = القيمة المقاسة - القيمة المتوقعة. على سبيل المثال، إذا كانت القيمة المتوقعة 1.4 متر/ثانية والقيمة المقاسة 1.42 متر/ثانية، فإن الخطأ المطلق هو 1.42 متر/ثانية - 1.4 متر/ثانية = 0.02 متر/ثانية.

من المهم ملاحظة أن الخطأ المطلق يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. الخطأ المطلق الموجب يعني أن القيمة المقاسة أعلى من القيمة المتوقعة، بينما الخطأ المطلق السالب يعني أن القيمة المقاسة أقل. في هذه الحالة، بما أن الخطأ المطلق موجب، فإن القيمة المقاسة أعلى بقليل من القيمة المتوقعة.

مع أن الخطأ المطلق مفيد لتقييم دقة قياس واحد، إلا أنه لا يوفر معلومات حول دقة القياس. لتقييم الدقة، علينا النظر إلى نطاق القيم المُحصّلة من قياسات متعددة لنفس الكمية.

خطأ نسبي

الخطأ النسبي هو مقياس للفرق بين القيمة المقاسة والقيمة المتوقعة، ويُعبَّر عنه كنسبة مئوية من القيمة المتوقعة. وهو مفيدٌ بشكل خاص لمقارنة الأخطاء في قيمٍ مختلفة الأحجام، إذ يأخذ في الاعتبار نطاق القيم المقيسة.

صيغة الخطأ النسبي هي: الخطأ النسبي = (الخطأ المطلق / القيمة المتوقعة) × ١٠٠٪. باستخدام المثال السابق، حيث كان الخطأ المطلق ٠٫٠٢ متر/ثانية والقيمة المتوقعة ١٫٤ متر/ثانية، يكون الخطأ النسبي (٠٫٠٢ متر/ثانية / ١٫٤ متر/ثانية) × ١٠٠٪ ≈ ١٫٤٣٪.

كما نرى، فإن الخطأ النسبي أصغر من الخطأ المطلق لأنه يأخذ في الاعتبار حجم القيم. في هذه الحالة، يكون الفرق بين القيمة المقاسة والقيمة المتوقعة 1.43% فقط من القيمة المتوقعة.

مثال آخر لتوضيح اختلاف المقياس هو خطأ في صورة قمر صناعي. إذا كان الخطأ في صورة قمر صناعي 10 أمتار، فإنه يبدو كبيرًا عند مراعاة المسافات بمقياس الإنسان. ومع ذلك، إذا كانت أبعاد الصورة 10 كيلومترات × 10 كيلومترات، فإن خطأ 10 أمتار صغير نسبيًا، إذ لا يمثل سوى 0.1% من المساحة الإجمالية (لأن 10 كم = 10000 متر، و10 / (10000 × 10000) × 100% = 0.0001% من حيث نسبة المساحة). يساعد ذكر الخطأ النسبي كنسبة مئوية القراء على فهم أهمية الخطأ بشكل أفضل مقارنةً بالقيمة المتوقعة.

رسم الشكوك والأخطاء

عادةً ما تُمثَّل حالات عدم اليقين بأشرطة في الرسوم البيانية والمخططات. تمتد هذه الأشرطة من القيمة المقاسة إلى أقصى وأدنى قيمتين ممكنتين. يُمثل النطاق بين أقصى وأدنى قيمتين نطاق عدم اليقين. انظر المثال التالي لأشرطة عدم اليقين:

‍

على سبيل المثال، لنفترض تجربةً تقيس فيها سرعة كرة تتحرك مسافة 10 أمتار. تتناقص سرعة الكرة مع تحركها. تُحدِّد أقسامًا بطول متر واحد، وتستخدم ساعة توقيت لقياس الوقت الذي تستغرقه الكرة للتحرك بين كل قسم. نظرًا لتأخر رد فعلك عند تشغيل ساعة التوقيت وإيقافها، يكون هناك عدم يقين قدره 1 متر/ثانية. لنفترض أنك حصلت على قيم سرعة 0.2 متر/ثانية، و1.4 متر/ثانية، و1.22 متر/ثانية، و1.15 متر/ثانية. تُبلَّغ القياسات، بما في ذلك عدم اليقين، على النحو التالي: 1.01 ± 1.4 متر/ثانية، و0.2 ± 1.22 متر/ثانية، و0.2 ± 1.15 متر/ثانية، و0.2 ± 1.01 متر/ثانية. يمكن تمثيل النتائج على النحو التالي:

 

في الرسم البياني، تُمثل النقاط القيم الفعلية المقاسة (1.4 متر/ثانية، 1.22 متر/ثانية، 1.15 متر/ثانية، و1.01 متر/ثانية)، وتمثل الأشرطة الممتدة من كل نقطة عدم يقين قدره ±0.2 متر/ثانية. يُساعد هذا التمثيل المرئي على فهم النطاق الذي قد تقع فيه القيمة الحقيقية لكل قياس بسرعة.

كيف يتم نشر الشكوك والأخطاء؟

عند إجراء حسابات باستخدام قيم ذات شكوك وأخطاء، من الضروري مراعاة هذه الشكوك في الحسابات، لأنها قد تؤثر على دقة النتيجة النهائية. تُعرف هذه العملية باسم انتشار الشكوك أو انتشار الأخطاء، وقد تؤدي إلى انحراف عن البيانات الفعلية، ويُسمى أيضًا انحراف البيانات.

هناك طريقتان شائعتان لانتشار عدم اليقين: الخطأ النسبي والخطأ المطلق. في طريقة الخطأ النسبي، نحسب الخطأ النسبي لكل قياس ونجمعه لتحديد النسبة المئوية لانتشار الخطأ الإجمالي. أما في طريقة الخطأ المطلق، فنجمع الأخطاء المطلقة لكل قياس لإيجاد النسبة المئوية لانتشار الخطأ الإجمالي.

على سبيل المثال، إذا قسنا تسارع الجاذبية بمقدار 9.91 م/ث² مع عدم يقين ±0.1 م/ث²، وكانت كتلة الجسم 2 ±0.001 كجم، فإن الخطأ النسبي لتسارع الجاذبية يساوي (0.1 / 9.91) × 100% ≈ 1%، والخطأ النسبي للكتلة يساوي (0.001 / 2) × 100% = 0.05%. ولإيجاد النسبة المئوية لانتشار الخطأ الكلي، نجمع هذه الأخطاء النسبية معًا.

لحساب انتشار عدم اليقين في نتيجة عملية حسابية، نحتاج إلى حساب القيمة المتوقعة مع تضمين عدم اليقين. على سبيل المثال، عند حساب القوة الناتجة عن سقوط جسم باستخدام الصيغة F = m * g (حيث m هي الكتلة وg هي تسارع الجاذبية)، نحسب القوة باستخدام القيم المقاسة مع عدم اليقين فيها. ثم يُعبَّر عن النتيجة بـ "القيمة المتوقعة ± قيمة عدم اليقين".

إن الإبلاغ عن عدم اليقين والأخطاء في نتائجنا أمر بالغ الأهمية حتى يتمكن الآخرون من تقييم دقة وموثوقية قياساتنا وحساباتنا.

الإبلاغ عن حالات عدم اليقين

للإبلاغ عن نتيجة قياس ذات عدم يقين، نكتب القيمة المحسوبة متبوعةً بعدم اليقين. ويمكننا أيضًا وضع القيمة بين قوسين للتوضيح. على سبيل المثال، إذا قسنا قوةً ووجدنا أن عدم اليقين فيها يساوي 0.21 نيوتن، وكانت القيمة المقاسة 19.62 نيوتن، فنُبلغ عنها بـ 19.62 ± 0.21 نيوتن أو (19.62 ± 0.21) نيوتن.

انتشار حالات عدم اليقين

عند نشر حالات عدم اليقين في العمليات الحسابية، هناك قواعد محددة للعمليات الحسابية المختلفة:

• الجمع والطرح: عند جمع القيم أو طرحها، يكون إجمالي عدم اليقين هو مجموع حالات عدم اليقين الفردية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا قياسان (أ ± أ) و(ب ± ب) وجمعناهما، فإن النتيجة هي (أ + ب) ± (أ + ب). لنفترض أننا نضيف قطعتين معدنيتين بطول 1.3 متر و1.2 متر، مع عدم يقين ±0.05 متر و±0.01 متر على التوالي. الطول الإجمالي هو 1.3 + 1.2 = 1.5 متر، وإجمالي عدم اليقين هو ±(0.05 متر + 0.01 متر) = ±0.06 متر.

• الضرب في عدد دقيق: عند ضرب قيمة في عدد دقيق، يُحسب إجمالي عدم اليقين بضرب هذا العدد الدقيق. على سبيل المثال، إذا كنا نحسب مساحة دائرة نصف قطرها r = 1 ± 0.1 متر، وكانت صيغة مساحة الدائرة هي A = πr²، فإن عدم اليقين في المساحة هو 2πr×0.1. باستبدال r = 1 متر، نحصل على 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283 متر² (قيمة عدم اليقين التقريبية).

• القسمة على عدد دقيق: عند قسمة قيمة على عدد دقيق، يُحسب إجمالي عدم اليقين بقسمة عدم اليقين على تلك القيمة الدقيقة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا طول 1.2 متر مع عدم يقين ±0.03 متر، وقسمناه على 5، فإن عدم اليقين في النتيجة يكون ±0.03 / 5 = ±0.006 متر.

انحراف البيانات

عند إجراء حسابات بقيم غير مؤكدة، ستنحرف البيانات الناتجة عن البيانات الفعلية. يمكننا حساب هذا الانحراف باستخدام انحراف البيانات (المُمثل بالرمز δ). يعتمد حساب انحراف البيانات على نوع العملية المُجراة على القيم.

انحراف البيانات بعد الجمع أو الطرح: لحساب انحراف البيانات للنتيجة، نستخدم الصيغة δ = √(a² + b²)، حيث a وb هما تفاوت القيم المضافة أو المطروحة. على سبيل المثال، إذا طرحنا قيمتين، A = 10 ± 0.2 وB = 8 ± 0.3، فإن النتيجة هي C = A – B = 2 ± 0.4. انحراف البيانات لـ C هو δ = √(0.2² + 0.3²) = √(0.04 + 0.09) = 0.36.

انحراف البيانات بعد الضرب أو القسمة: لضرب أو قسمة عدة قياسات، نستخدم نسبة عدم اليقين إلى القيمة الحقيقية. إذا كانت لدينا قيمتان A ± a وB ± b، وضربناهما، تكون النتيجة C = A * B ± (A*B) * √((a/A)² + (b/B)²). إذا كان هناك أكثر من قيمتين، نضيف حدودًا إضافية إلى المعادلة.

انحراف البيانات عند استخدام الأسس: إذا كانت القيمة ذات أُس، نضرب الأس في عدم اليقين، ثم نطبق صيغة الضرب والقسمة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا y = (A ± a)² * (B ± b)³، فإن انحراف البيانات يكون δ = √((2Aa)² + (3Bb)²). إذا كان هناك أكثر من قيمتين، تُضاف حدود إضافية إلى المعادلة.

يساعدنا حساب انحراف البيانات في تقييم تأثير عدم اليقين على نتائجنا وتحديد دقة وموثوقية قياساتنا وحساباتنا.

في عملية معالجة الأخطاء وعدم اليقين، غالبًا ما يصبح تقريب الأرقام خطوة أساسية لجعل القيم أكثر قابلية للمعالجة. وينطبق هذا بشكل خاص عند التعامل مع عدم يقين ضئيل أو كبير جدًا، والذي لا يؤثر على النتائج الإجمالية إلا بشكل طفيف. يمكن أن يتضمن التقريب إما زيادة القيمة (التقريب لأعلى) أو تقليلها (التقريب لأسفل).

على سبيل المثال، عند قياس ثابت الجاذبية على الأرض، قد تكون القيمة المقاسة 9.81 م/ث² مع عدم يقين قدره ±0.10003 م/ث². هنا، يُعد جزء عدم اليقين بعد الخانة العشرية الأولى، 0.0003، ضئيلاً مقارنةً بعدم اليقين الكلي البالغ 0.1. لذلك، من المنطقي تجاهل الأرقام بعد الخانة العشرية الأولى وتقريب عدم اليقين إلى ±0.1 م/ث²، لأن هذا التبسيط لن يؤثر بشكل ملحوظ على سلامة القياس.

مع ذلك، من المهم للغاية مراعاة أن التقريب بحد ذاته قد يُسبب أخطاءً إضافية، خاصةً عند انخفاض عدد الأرقام المعنوية إلى مستوى منخفض جدًا. لذلك، قبل اتخاذ قرار تقريب أو تقليص القيم، من الضروري تقييم مستوى الدقة المطلوب للقياسات والحسابات بدقة.

تقريب الأعداد الصحيحة والعشرية

تتطلب عملية تقريب الأرقام تحديد القيم ذات الدلالة الإحصائية، مع مراعاة حجم البيانات ومستوى الدقة المطلوب للقياسات والحسابات. عند التقريب، هناك طريقتان رئيسيتان: التقريب لأعلى أو التقريب لأسفل. يعتمد الاختيار بينهما على الرقم الذي يلي مباشرةً الرقم ذي الدلالة الإحصائية الأقل.

عند التقريب لأعلى، نستبعد الأرقام الأقل أهمية. على سبيل المثال، يمكن تقريب 3.25 لأعلى إلى 3.3. وبالعكس، عند التقريب لأسفل، نستبعد أيضًا الأرقام الأقل أهمية. على سبيل المثال، يمكن تقريب 76.24 لأسفل إلى 76.2.
كقاعدة عامة، إذا انتهى الرقم برقم يتراوح بين ١ و٤، يُقرَّب إلى أقل قيمة. وإذا كان الرقم في النهاية يتراوح بين ٥ و٩، يُقرَّب إلى أعلى قيمة. والجدير بالذكر أنه عادةً ما يُقرَّب إلى أعلى قيمة عندما يكون الرقم ٥. على سبيل المثال، يُقرَّب كلٌّ من ٣.١٥ و٣.١٦ إلى أعلى قيمة ٣.٢، بينما يُقرَّب ٣.١٤ إلى أقل قيمة ٣.١.

عند مواجهة مسألة، غالبًا ما يُمكننا استنتاج العدد المطلوب من المنازل العشرية (أو الأرقام المعنوية) من البيانات المُعطاة. على سبيل المثال، إذا عُرض رسم بياني أو مجموعة بيانات بأرقام ذات منزلتين عشريتين فقط، فمن المنطقي توقع أن تُعرض إجاباتنا أيضًا بمنزلتين عشريتين. يُعدّ الاهتمام الدقيق بمستوى الدقة المطلوب أمرًا أساسيًا لتحديد العدد المناسب من المنازل العشرية أو الأرقام المعنوية.

تقريب الكميات مع الشكوك والأخطاء

عند العمل بقياسات مصحوبة بأخطاء وعدم يقين، تلعب القيم ذات الأخطاء وعدم اليقين الأكبر دورًا رئيسيًا في تحديد قيم عدم اليقين والخطأ الإجمالية. عند الإجابة على أسئلة تحدد عددًا معينًا من الكسور العشرية أو الأرقام المعنوية، يلزم اتباع نهج مختلف.

على سبيل المثال، لنفترض قيمتين: (9.3 ± 0.4) و(10.2 ± 0.14). عند جمع هاتين القيمتين، يجب إضافة عدم اليقين فيهما. يُحسب إجمالي عدم اليقين بمجموع القيم المطلقة لكلٍّ من عدم اليقين، والذي في هذه الحالة يساوي ±(0.4 + 0.14) = ±0.54. بتقريب 0.54 لأقرب جزء من عشرة، نحصل على 0.5. وبالتالي، فإن ناتج جمع الرقمين مع عدم اليقين فيهما والتقريب هو 19.5 ± 0.5.

إذا طُلب منا ضرب قيمتين، كلتاهما تحملان درجة عدم يقين، واحتجنا إلى حساب الخطأ الإجمالي المنتشر، فيمكننا حساب النسبة المئوية للخطأ لكل قيمة ثم جمعها للحصول على الخطأ الإجمالي. على سبيل المثال، إذا كانت A = 3.4 ± 0.01 وB = 5.6 ± 0.1، تُحسب النسب المئوية للأخطاء في A وB على النحو التالي: (0.01 / 3.4) × 100% ≈ 0.29% و(0.1 / 5.6) × 100% ≈ 1.78% على التوالي. الخطأ الإجمالي هو مجموع هذه النسب المئوية للأخطاء، وهو ما يقارب 2.07%. إذا طُلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية واحدة، فيمكننا إما أخذ الرقم العشري الأول أو تقريب الرقم وفقًا لقواعد التقريب القياسية.

باختصار، تُؤدي حالات عدم اليقين والأخطاء إلى تباين في القياسات والحسابات المرتبطة بها. يُعدّ الإبلاغ عن حالات عدم اليقين أمرًا بالغ الأهمية، إذ يُمكّن المستخدمين من فهم النطاق المحتمل للتباين في القيم المقاسة. تنتشر الأخطاء وعدم اليقين أثناء العمليات الحسابية التي تتضمن بياناتٍ بها مثل هذه العيوب، ومن الضروري مراعاة خطأ البيانات ذات أكبر قدر من الخطأ أو عدم اليقين. يُعدّ حساب كيفية انتشار الأخطاء أمرًا قيّمًا، إذ يُمكّننا من تقييم موثوقية نتائجنا.